摘要
HiMCM 2018A 要求只用客观数值参数为过山车排名。本文把它当成预测问题来做： 以 Golden Ticket Awards 2018 的钢质、木质两张 top-50 榜单为标签， 从 RCDB 的 1744 台过山车数据中学习"给参数打分、分高者胜"的评分函数，再对全库打分。
预处理阶段解决了三件事：最大倾角缺 83%，弃用；高度与落差相关 0.95 且落差缺 78%—— 推补落差等于把高度放进模型两次，故弃落差留高度；时长缺 41%，用"长度÷极速"回归推补并全程带 * 标注 （推补的可靠性有专门评估）。一个基线实验显示预处理选择的分量：同一组权重下， 百分位与 min-max 两种归一化给出的 Top 10 只重合 1/10——归一化因此被当作正式的模型假设对待。 建模用榜内成对比较的逻辑回归（Bradley-Terry）：投票人实际奖励的只有极速（+0.82）和长度（+0.41）， 翻滚数系数为零——大众口味约等于"快而长"。只用时长实测的 69 台完整样本重训，系数几乎不变，结论不依赖推补。
模型对全库的预测经受了一次时间检验：它评为"被低估"的 Steel Dragon 2000， 次年（2019）真的以第 20 名进入 GTA 榜单。但稳健性检查同时暴露两个问题： 模型在木质榜上几乎失灵（tau +0.21 对钢质 +0.50）；预测偏差最大的车各自凑成同一类—— 参数之外存在决定口碑的变量。对残差的分层置换检验把它定位到"谁建造、谁运营"： 榜内名次与国家无关，与运营方显著相关（连锁园的车平均跑输参数约 8 个名次，p=0.037）， 与制造商显著相关（组间方差占比 20%，p=0.029，GCI 与 CCI 两组均值差 22 个名次）。 全部数字可由随附脚本复现。
1 问题、数据与假设
问题。网上的"世界十佳过山车"榜单全是主观投票。原题要求：只用客观数值参数设计可复算的排名算法， 评出世界 Top 10，与线上榜单对比，设计推荐 App，并写一页非技术新闻稿。
数据。RCDB（rcdb.com）快照 rcdb_strict.csv，1744 行， 字段含名称、乐园、地点、运营状态、开业时间、材质、机型、长度、高度、落差、极速、翻滚数、最大倾角、时长。 标签用 Golden Ticket Awards 2018 的两张 top-50 榜单（业内发行量最大的投票奖项）， 100 条榜单条目与数据库匹配上 97 条，匹配明细全部列在 3.1 的表 1。
假设（各带一句理由）。
- GTA 榜单的先后顺序是"大众偏好"的可用测量——它由数千名游乐行业读者投票产生；投票人偏北美的问题真实存在，第 4、5 节专门处理。
- 只排运营中的车——"世界最佳"应当买票能坐到。
- 缺失的时长可由长度与极速近似（2.4 节给出推补式和可靠性评估）；推补值带 * 标注，其影响用划分实验单独检验（4.2 节）。
- 高度与落差高度冗余，二选一（2.2 节论证）。
- 改造过的车按现轨道的建造者归属（如 RMC 改造车归 RMC）——投票人坐的是现在的轨道。
2 数据预处理
2.1 缺失有三种长相
| 字段 | 缺失率 | 处置 |
|---|---|---|
| 高度 / 极速 / 长度 / 翻滚数 | 0% | 直接可用（快照按此预筛过） |
| 时长 | 41% | 可推补（2.4） |
| 落差 78% / 最大倾角 83% | 缺过大半 | 倾角弃用；落差另有冗余问题（2.2） |
数据还有两类脏东西，处理时都要留心：同名车（好几台 Viper、Colossus、Medusa——一律按记录处理，不按名字合并）； 录入错误（Thorpe Park 的 Colossus，乐园一栏填成了城市名 Chertsey）。排名范围限定为运营中且核心字段齐全的 1207 台。
2.2 一个重复的维度：高度与落差
五个数值字段两两算相关系数（图 1）。高度与落差相关 0.95——物理上是一回事，爬多高决定摔多深， 同时计分等于同一个优点算两次。落差更贴近体验，但缺失 78%；如果用落差~高度回归推补（R²=0.904）， 1207 台里 924 台的落差将是推补值，而推补公式是 落差 ≈ 0.95×高度 − 1.2—— 这个变量的四分之三就成了高度的化名。所以弃落差、留高度（缺 0%）。
图 1 · 五个数值字段的相关系数
高度×落差 r=0.95（橙框）：物理同源，只能留一个。高度×极速 0.90 也很高，但极速另有独立信息（2.3）。
2.3 高度与极速的关系：一次物理检验
高度与极速相关 0.90，但两者都保留，因为极速有自己的信息。检验：用 1744 台全量数据拟合极速对高度（图 2）。 线性拟合 R²=0.815 表面够用（图 2a），但残差按高度分箱呈系统模式（图 2b：矮车段 −2.9 mph、中段 +3.3、 250 ft 以上 −15.2）——关系是弯的。改用能量守恒的形式拟合：
v = 5.43√h − 4.7，R² = 0.849
√(2g) 在 mph/英尺单位制下的理论值是 5.47，回归拟出 5.43，负截距对应摩擦（图 2c、2d）。 残差压平后剩下的离群点全是弹射车（Formula Rossa：高度 170.6 ft，极速 149.1 mph）—— 它们的速度不来自落差，这正是极速独立信息的来源，也是后文外推问题的伏笔。
图 2a · 线性拟合
图 2b · 线性模型的残差
图 2c · 根号模型 v = a√h + b
图 2d · 根号模型的残差
2.4 补时长：怎么补、补得多可靠
时长缺 41%。删列丢关键区分度（240 秒对 28 秒）；删行让样本减半且缺失非随机；均值填充是评委点名批评的做法。 我们用时长对"长度÷极速"（按极速匀速跑完全程的时间）回归：在 702 台有实测时长的车上，R²=0.291（图 3）。
图 3 · 时长推补的可靠程度：R²=0.29 长什么样
竖着看任何位置：全速时间差不多的车，实测时长能差 100 秒以上。橙色带是回归的典型误差（±36 秒）；灰色水平线是"猜全库平均"（±43 秒）。回归只比瞎猜好一点，但大方向不会错——推补值只用于预测，不驱动训练结论（4.2 划分实验验证）。
2.5 归一化的分量：一个警示实验
预处理的最后一步是把不同单位的特征变得可比（归一化）。这一步看起来最无害，实际分量最重，值得专门演示。 做一个最朴素的基线：不学习，手拍一组权重（极速 28%、时长 24%、高度 22%、长度 16%、翻滚 10%，仅作演示）， 五个特征加权求和给全库打分——唯一改动的是归一化方式：百分位（这个指标上超过全库百分之几的车） 或 min-max（全库最小到最大压到 0~1）。
同一份数据、同一组权重，两张 Top 10 只重合 1 台（图 4）。 百分位抹平纪录之间的差距（456 ft 和 250 ft 都是前 1%，几乎同分），偏向各项均衡的机型； min-max 保留数值差距，偏向纪录保持者——Kingda Ka 在 min-max 榜第 7、百分位榜第 321。 作为对照，同一个矩阵上把加权求和换成 TOPSIS 算法，Top 10 只换 1 台： 结论对归一化的敏感，远超对算法的敏感。
图 4 · 同一份数据、同一组权重，两种归一化的 Top 12 对照
高亮三台：Steel Dragon 2000（橙，唯一双榜前十）、Kingda Ka（蓝，min-max 第 7 → 百分位第 321）、Steel Vengeance（绿，百分位第 2 → min-max 第 17）。
这个教训贯穿后文：第 3 节的模型对特征做 z 标准化并在正文写明——归一化不是预处理的技术细节， 是和权重同级的模型假设，必须当作假设来交代。
2.6 预处理小结
| 项目 | 结果 |
|---|---|
| 排名范围 | 运营中且核心字段齐全，1207 台 |
| 最终特征 | 极速、高度、长度、时长、翻滚数（标准化） |
| 弃用 | 落差（与高度冗余）、最大倾角（缺 83%） |
| 推补 | 时长 505 台（42%），全程带 *，不驱动训练结论 |
| 标签 | GTA 2018 两张 top-50，进入建模 96 台 |
3 建模：把榜单变成比赛
3.1 标签：两张榜单的原委
标签的来历值得完整交代，因为整个模型学到的东西，含义都由它决定。
我们需要的是"大众偏好"的测量。逐车打分的评分网站有两个先天问题：不同人打分手松手紧、 五星制十分制混在一起，跨人不可比；而且逐人打分的原始数据大多不公开。榜单没有这些毛病—— 它是把很多人的意见用同一套程序聚合成的一个顺序。我们选的是 Golden Ticket Awards（GTA）： 美国游乐行业刊物 Amusement Today 每年颁发的奖项，业内称作游乐园界的"奥斯卡"。 机制是杂志邀请一批阅历足够的资深投票人（要求坐过的车足够多、跨区域），各自提交选票， 加权汇总后发布钢质、木质各一张 top-50。选它的理由有三：年份与原题对齐（2018）； 两张 50 名的榜单合计给出约 100 个标签，覆盖面够大；程序年年稳定——这让我们能拿 2019 年的同一榜单 做时间外检验（4.2 用到）。
下载到的两张榜单全文如表 1（* = 榜单名称与数据库记录不一致、靠模糊匹配加人工核对； † = 数据库快照里没有这台车，只能放弃）：
| # | 钢质榜 | # | 木质榜 |
|---|---|---|---|
| 1 | Fury 325 | 1 | Phoenix |
| 2 | Millennium Force | 2 | El Toro |
| 3 | Steel Vengeance | 3 | Voyage |
| 4 | Expedition GeForce | 4 | Boulder Dash† |
| 5 | Superman: The Ride | 5 | Beast |
| 6 | Apollo's Chariot | 6 | Lightning Rod† |
| 7 | Iron Rattler | 7 | Outlaw Run |
| 8 | Leviathan | 8 | Ravine Flyer II |
| 9 | Maverick | 9 | Gold Striker |
| 10 | Diamondback | 10 | Thunderhead |
| 11 | Nitro | 11 | Mystic Timbers |
| 12 | Intimidator 305 | 12 | Lightning Racer |
| 13 | Phantom's Revenge | 13 | GhostRider |
| 14 | Magnum XL-200 | 14 | Balder |
| 15 | Taron | 15 | Thunderbolt |
| 16 | Top Thrill Dragster | 16 | Wodan* |
| 17 | Mako | 17 | Wildfire |
| 18 | Time Traveler | 18 | Raven |
| 19 | Blue Fire* | 19 | Goliath |
| 20 | Nemesis | 20 | Jack Rabbit |
| 21 | Helix | 21 | Giant Dipper |
| 22 | Intimidator | 21 | Shivering Timbers |
| 23 | New Texas Giant | 23 | Legend |
| 24 | Twisted Colossus | 24 | White Lightning |
| 25 | Mind Bender | 25 | Troy |
| 26 | Goliath | 26 | Renegade |
| 27 | Behemoth | 27 | Cu Chulainn |
| 28 | Montu | 28 | Colossos* |
| 29 | Banshee | 29 | Cyclone |
| 30 | Skyrush | 30 | Prowler |
| 31 | X2 | 30 | Rampage |
| 32 | Alpengeist | 32 | Comet |
| 33 | Wicked Cyclone | 33 | Boardwalk Bullet |
| 34 | Black Mamba | 34 | Flying Turns |
| 35 | Cheetah Hunt | 35 | Rutschebanan* |
| 36 | Verbolten† | 36 | Switchback |
| 37 | Kumba | 37 | Blue Streak |
| 38 | Twisted Timbers | 38 | American Thunder |
| 39 | Jetline | 38 | Screamin' Eagle |
| 39 | Superman Ride of Steel | 40 | Grizzly |
| 41 | Goliath | 41 | Blue Streak |
| 42 | Lisebergbanan | 42 | Playland Wooden Coaster* |
| 43 | Griffon | 43 | Boss |
| 44 | Cannibal | 44 | Wild One |
| 45 | Shambhala | 45 | T Express |
| 46 | Expedition Everest | 46 | Megafobia |
| 47 | Storm Chaser | 47 | Hades 360 |
| 48 | Raging Bull | 48 | Mine Blower |
| 49 | Thunderbird | 49 | Wooden Warrior |
| 50 | Whizzer | 50 | Twister |
（木质榜的 21、30、38 名各有并列，所以名次有重复。）与 RCDB 快照按"名称+乐园"匹配：100 条对上 97 条。 5 条模糊匹配的对应关系显式列出，每条都人工核对过是同一台车：
| 榜单原文 | 数据库记录 |
|---|---|
| Blue Fire | blue fire Megacoaster |
| Wodan | Wodan Timbur Coaster |
| Colossos | Colossos - Kampf der Giganten |
| Rutschebanan | Rutschebanen |
| Playland Wooden Coaster | Coaster（PNE Playland） |
另一个陷阱是同名车：榜上有三台 Goliath（Six Flags Over Georgia、La Ronde、Six Flags Great America 各一台） 和两台 Blue Streak（Conneaut Lake、Cedar Point），必须靠乐园字段区分，按名字合并就全错了。 97 条匹配里还有一条要交代：木榜 30 名（并列）的 Rampage，数据库把它的乐园记成了别名， 自动匹配不稳定，保守弃用——最终进入建模的是 96 台。 整张标签表（含每条的匹配结果）即 class05-gta2018-labels.csv。
我们拿到的是聚合后的名次，不是任何人的选票。"A 胜 B"指投票人群体的汇总意见把 A 排在 B 前； 钢榜和木榜是两次独立的汇总，只在榜内配对、不跨榜配对。
由此有一个必须写明的统计事实：这些"对"不是独立观测。以四台车的迷你榜单 A>B>C>D 为例， 可以配出 6 对——A-B、A-C、A-D、B-C、B-D、C-D——但其中 A-C、A-D、B-D 三对完全由 A>B、B>C、C>D 这三个相邻判断推出：6 对里只有 3 份独立信息。同理，一张 50 名的榜单派生 1225 对， 独立信息只有 49 个相邻判断；两张榜共 2300 对，实际信息量就是两个排序本身。 因此本文所有区间按"车"整台重抽（bootstrap）、所有 p 值按"车"做置换，不使用按对数计算的标准误—— 那等于把 2300 当成样本量，会严重高估精度。
这份标签还有两个先天的偏，后文都会撞上：投票人集中在北美——"能否上榜"受地理影响 （4.3 的 Formula Rossa、Hyperion）；top-50 只露出头部——"没上榜"不等于"差"，只是没被看见， 这个外推问题在 3.2 正面处理。若能拿到逐人选票（历史上 Mitch Hawker 的木质过山车年度调查收的就是这种数据， 能算任意两台车的真实交手胜率），才能做个体级的对决模型，并顺带处理"每个投票人坐过哪些车"的问题。
3.2 样本怎么分
表 1 里匹配成功、进入建模的 96 台，就是全部带标签的样本。1207 台运营中的车由此分成两类。 训练集 96 台：其中 27 台的时长是推补值，这部分"数据不齐"的样本另做一个划分实验—— 从训练中剔除、只当检验集用（4.2）。预测集 1111 台：没有标签，不是因为它们差， 而是投票人根本没坐过（3.1 说的头部截断）。模型会给这 1111 台打分，但那是外推； 什么时候可信、什么时候不可信，第 4、5 节回答。
3.3 方法的本质：两两对决 + 一条 S 形曲线
榜单不是打分——没人给 50 台车各打一个可比的分数——但榜单蕴含大量"谁在谁前面"的判断。 把每张 top-50 拆成两两对决（A 排在 B 前 = A 胜 B 一场），两张榜共 2300 场"比赛"。 给每台车一个分数，用一条 S 形曲线（logistic）把分差变成胜率： 分差大 → 胜负几乎确定；分差小 → 接近掷硬币。
分数从哪来，是这个方法和棋类 Elo 的关键区别。Elo 给每个棋手一个自由的分数，靠输赢直接调整—— 照搬过来，每台车会得到一个自由分数，但那只是把榜单顺序重新编码一遍：学不到"什么参数让车受欢迎"， 也没法给从未上榜的 1111 台打分。我们把每台车的分数锁死为参数的线性组合： 分数 = w₁×极速 + w₂×高度 + w₃×长度 + w₄×时长 + w₅×翻滚数（都用 z 值），车没有自由分数， 五个 w 是模型里唯一可调的量。训练就是调这五个数：给定一组 w，每台车立刻有分、每场对决立刻有预测胜率； 把 2300 场"实际胜者恰好获胜"的概率乘起来，就是这组 w 的成绩；找出让成绩最大的那组 w—— 3.4 表里的系数就是它。
搜索这组 w 的具体步骤（全部代码约 30 行，在 class05-bt-rank.py 里）：
- 从 w 全零出发——此时所有车同分，每场对决都判 50:50；
- 每一轮，对 2300 场对决逐场算当前的预测胜率 p，并累加"推力"：实际胜者与败者的特征差 ×(1−p)。一场对决预测得越离谱（实际赢家的 p 越小），推力越大；已经预测很准的对决（p 接近 1）几乎不再出力；
- 把 w 沿 2300 场推力的合力挪一小步（步长 0.1），同时轻微向零收缩（正则化，防止 96 台的小样本把系数推到离谱）；
- 重复约一千轮，w 不再移动即收敛。
直觉版：每场对决都在投票——榜单说 Fury 325 赢了 Whizzer，而当前 w 给 Whizzer 更高分， 这场就把 w 往"抬高 Fury 强项、压低 Whizzer 强项"的方向推一点。 这套"错得越狠推得越重"的更新就是逻辑回归的梯度上升。
把分数绑在参数上，代价与好处同源：学到的是参数与偏好的关系（可解释），没比过赛的车也能打分（外推的基础）； 但参数相同的两台车必然同分——模型天生说不出"同参数、不同口碑"，这正是第 5 节残差分析的出发点。
图 5 · 分差怎样变成胜率：三场真实对决
悬殊对决（Fury 325 对 Whizzer，分差 2.57）模型给 93%；前二之争（Fury 对 Millennium Force，分差 0.07）它诚实地说"掷硬币"（52%）；Nitro 对 Diamondback 给了 56% 却猜反了——相邻名次本来就在误差里。
搜索过程本身画在图 6：五个系数从零出发，约 300 轮后基本稳定。最有信息量的是高度那条线—— 前 30 轮它跟着极速一起上升（两者相关 0.90，速度的功劳起初被两个特征平分）， 随后被极速一步步挤压，120 轮左右转负，最终停在 −0.24。3.4 里那个看似反直觉的负系数不是谁拍板的假设， 是 2300 场对决拉锯出来的结果。
图 6 · 训练过程：五个系数从零到收敛
高度（橙）先随极速上升到 +0.14，随后被相关 0.90 的极速（蓝）逐步挤成负值——负系数是拉锯的结果，不是预设。约 300 轮后五条线都不再移动。
3.4 学到的口味
全部 96 台训练的系数（标准化特征，bootstrap 95% 区间见图 7）：
图 7 · 学到的系数及 bootstrap 95% 区间
只有极速（+0.82）和长度（+0.41）稳在零的右侧；高度、时长、翻滚数全部跨零。强相关的极速+高度按 4.1 的结果报两者合计（最下行，稳定为正）。
三个结论。其一，大众口味约等于"快而长"：只有极速和长度的区间稳在零的右侧。 其二，翻滚数是干净的零——单用翻滚数排序 tau 还是负的（钢 −0.45、木 −0.86），翻滚多的车在榜上反而靠后。 其三，控制极速后高度没有独立正贡献；高度和极速相关 0.90，按 4.1 的结果，单个系数不下结论， 报两者合计：[+0.27, +0.94]，稳定为正。
负的高度系数有一个直观读法：给定速度，矮的车更受青睐——模型在给"速度的性价比"记账。 实例：Taron（98 ft / 73 mph，弹射）与 Fujiyama（259 ft / 81 mph）模型同分 +2.12， 前者少用 161 英尺换到了几乎同样的速度；投票人也这么想——Taron 排钢榜第 15， Maverick（105 ft / 70 mph）排第 9，而"堆高换速度"的巨塔在榜内并不讨好。
打分的算法只有一行：每个特征减全库均值、除以标准差得到 z 值，再乘上上表刚学到的对应系数，五项相加。 z 值只负责把 95 mph 和 8133 ft 换算到同一把尺上；每项值多少分，由学到的系数决定—— 学习的产出就是这五个乘数。用一台不在训练集里的车把这一行算完整—— Steel Dragon 2000（2018 年两榜均未收录）：
| 特征 | 原始值 | 全库均值 | 标准差 | z 值 | ×学到的系数 | 贡献 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 极速 | 95 mph | 42.3 | 16.6 | +3.18 | +0.822 | +2.62 |
| 高度 | 318.3 ft | 82.6 | 53.1 | +4.44 | −0.240 | −1.07 |
| 长度 | 8133 ft | 1926 | 1229 | +5.05 | +0.405 | +2.05 |
| 时长 | 240 s | 103.1 | 35.0 | +3.91 | −0.169 | −0.66 |
| 翻滚数 | 0 | 1.2 | 1.8 | −0.64 | +0.043 | −0.03 |
| 总分 | +2.91 |
+2.91 使它在 1111 台未上榜车里排第 4：极速和长度两项巨大的正贡献压过了高度、时长两项的负贡献。 对照一下"不学习"的情形：若五个 z 直接相加（等于五项等权），这台车会得 +15.9， 且高度成为最大加分项——学到的系数正是把这份等权直觉修正成投票人的真实口味。 这个分数后来的命运见 4.2 的时间外检验。
这些系数只能按"榜内梯度"读，不能按"配方"读：标签车的极速集中在 45–95 mph，榜内已有饱和迹象—— 在榜最快的 Top Thrill Dragster（120 mph）只排第 16，前三名的极速是 95、93、74。 把车造得更快更长，并不能按系数比例买到口碑。
4 稳健性检查
4.1 强相关的两个特征，各自的系数说了不算
高度与极速相关 0.90，直接报单个系数有陷阱，用一个能看清答案的实验演示。 做法：取 384 台高度、落差、极速都有实测的车，用"高度+落差"这对强相关特征（相关 0.95）预测极速； 从这 384 台里有放回重抽同样多的车，重新拟合，记下两个系数和 R²；重复 200 次， 取各量的 2.5%–97.5% 分位当区间。再把每次重抽的规模改成 50 台（榜单标签的量级）重做一遍：
| n=384 | n=50 | |
|---|---|---|
| R²（预测） | 0.906 [0.88, 0.93] | 0.909 [0.85, 0.96] |
| 高度系数 | +0.10 [−0.00, +0.25]，翻符号 7/200 | +0.10 [−0.24, +0.56]，翻符号 62/200 |
| 落差系数 | +0.86 [0.72, 0.96] | +0.85 [0.41, 1.18] |
| 两系数之和 | +0.956 [0.943, 0.967] | +0.957 [0.92, 0.98] |
看 n=50 那列：预测精度纹丝不动（R² 稳在 0.9 上下），高度的单独系数却每三次有一次符号是反的， 而两系数之和始终稳定。预测稳，不代表能说清各自的功劳：小样本下， 强相关的一对特征只报两者合计的贡献。全文照此执行。
4.2 对没见过的样本表现如何：三个检验的做法与结果
交叉验证。96 台在榜车随机均分五折；划分单位是车、不是对——3.1 说明过对不独立， 若按对分折，同一台车会同时出现在训练与检验两侧。每轮留出一折，用其余四折的榜内对训练， 在留出的车之间统计 Kendall tau（预测顺序与榜单顺序一致的对数减不一致的对数，除以总对数； +1 全对，0 等于乱猜）。整个过程画在图 8：五轮划分、每轮在留出的钢车之间和木车之间各算一个 tau （对子只在同材质内数，榜单不跨材质可比），十个数从 +0.05 到 +0.73，均值 +0.34； 换一个随机种子重新分折，均值 +0.29。折间抖动如此之大，说明 96 台样本下任何单次评估都不可精读， 正文因此只报"约 +0.3"。补充两点：分折未按材质分层，五折的钢/木构成为 12/8、8/11、10/9、10/9、9/10， 均超过"至少 5 台才计 tau"的门槛；按材质分层重跑，两个种子的均值为 +0.31 与 +0.31—— 结论不变，且种子间更稳，正式做法应首选分层。
图 8 · 五折交叉验证：每轮谁被留出，各得多少分
十个 tau 从 +0.05 抖到 +0.73（竖线为均值 +0.34）。钢的得分在五轮中四轮高于木——模型猜钢车准、猜木车不准，这个系统性差距在 4.3 展开。各折钢/木台数：12/8、8/11、10/9、10/9、9/10。
完整性划分（假设 3 的验证）。做法：把 96 台在榜车按"时长是否实测"切开—— 69 台实测的进训练，27 台推补的完全不进训练、只当检验集。两组系数对照：
| 特征 | 全部 96 台训练 | 只用 69 台完整样本 |
|---|---|---|
| 极速 | +0.82 | +0.87 |
| 长度 | +0.41 | +0.59 |
| 高度 | −0.24 | −0.32 |
| 时长 | −0.17 | −0.21 |
| 翻滚数 | +0.04 | +0.06 |
五个系数方向全同、大小相近——"快而长"不是推补数据造出来的。再看检验集：模型没见过的 27 台推补车， 内部排序的 tau 是钢质 +0.50（14 台）、木质 +0.13（13 台）。钢质和训练集内水平一样， 说明推补不是主要误差源；木质照崩——这个信号先记下，4.3 要用。
时间外检验。做法：给 1207 台全部打预测分，去掉在榜的 96 台， 剩下预测分最高的就是"模型认为被低估"的名单；然后抓 2019 年的 GTA 钢质榜，逐台核对：
| 候选（未上榜车中预测分名次） | 2019 年结果 |
|---|---|
| Formula Rossa（1） | 未上榜（Captain Coaster 全球第 58；地理因素，见 4.3） |
| Do-Dodonpa（2） | 未上榜（后因 18 起乘客骨折停运，2024 年永久关闭） |
| Kingda Ka（3） | 未上榜（2024 年底停运，2025 年拆除） |
| Steel Dragon 2000（4） | 上榜，第 20 名 |
| Red Force（5） | 未上榜 |
| Hyperion（6） | 未上榜（玩家社区评为欧洲最佳 hyper 之一） |
一次干净的命中——用 2018 年的数据提前指出了次年的上榜者；外加一整排落空。 落空的成分为什么如此一致，是 4.3 和第 5 节的主题。
4.3 检查中发现的两个问题
问题一：模型在木质榜上几乎失灵。钢榜 in-sample tau +0.50，木榜只有 +0.21； 4.2 划分实验的检验集上，木质只有 +0.13。木质车的口碑几乎和参数无关——模型缺了某个东西， 而且这个东西在木车上作用更大。
问题二：预测偏差最大的车，各自凑成同一类。名次远好于参数预测的： Phoenix（GTA 第 1 / 预测第 38）、Time Traveler（+28 个名次）、Iron Rattler（+24）、 Gold Striker（+24）、Nemesis（+21）——全是以做工和乘坐体验著称的车。 参数远好于名次的，就是 4.2 时间外检验表里那串落空者，外加 Boss（−39）、T Express（−37）、 Hades 360（−36）这类失修木车——全是"参数漂亮、坐起来不行"的类型 （弹射纪录机里两台后来一台伤人关闭、一台被拆除）。随机误差不会挑主题； 两串名单各自成分如此一致，说明预测偏差不是随机的。（Formula Rossa 单独注脚： 在投票人以欧洲玩家为主的 Captain Coaster 上它排全球第 58——它的 GTA 缺席大头是投票人的地理构成， 这提示"上不上榜"和"榜内排第几"受不同因素支配。）
两个问题指向同一个方向：参数表之外有一个系统性的变量在起作用。第 5 节直接到数据里找它。
5 隐藏参数
思路：如果模型没缺变量，残差（预测名次 − 实际名次）应该谁也解释不了；反过来， 拿模型没用过的字段去解释残差，解释得动，就说明缺的变量和那个字段有关。 我们把数据里现成的、以及公开登记可查的字段逐个试了一遍。
5.1 过程与结果
以运营方为例，把完整过程走一遍（全部步骤在 class05-bt-decomp.py 里，一条命令复现）：
- 对 96 台在榜车各算一个残差，得到 96 个数；
- 按"乐园名是否以 Six Flags 开头"分两组：17 台对 79 台，组均值 −7.6 对 +0.2，差 7.8 个名次；
- 检验这个差是不是运气：把 96 个残差随机重排、重新分成 17+79 两组再算组差，重复 5000 次——能凑出 ≥7.8 的只有约 3.7%，即 p=0.037。乐园名的前八个字母本不该有任何预测力，它显著了。
同一过程换上其余分组变量（多组时统计量换成组间方差占比，置换手续不变）：
| 分组层 | 结果 | 判定 |
|---|---|---|
| 国家 | R²=0.02，p≈0.7 | 无信号：榜内名次与国籍无关（地理只影响"能否上榜"） |
| 运营方（乐园名以 Six Flags 开头，纯字符串判定） | 连锁 −7.6 vs 其他 +0.2，p=0.037 | 显著：连锁园的车系统性跑输参数约 8 名 |
| 乐园（≥2 台在榜的 23 个园） | R²=0.38，p=0.36 | 方向一致，检验力不足（每园 2–4 台） |
| 机型 | 悬挂式 +9.0（n=5），p=0.11 | 不显著 |
| 车龄（木榜内） | 相关 +0.05 | 否决"老木车吃情怀分"：1920 年的 Jack Rabbit 跑赢 +20，1976 年的 Screamin' Eagle 跑输 −25 |
| 节奏代理（长度÷实测时长） | 相关 −0.23 | 不支持 |
5.2 制造商：同一过程，分组变量换成建造者
分组变量换成"现轨道的建造者"——公开登记信息，96 台的标注表写在 class05-bt-mfr.py 里逐条可查 （改造车按现轨道归属，见假设 5）。n≥3 的 10 组覆盖 90 台，组间方差占比 R²=0.20， 置换检验 p=0.029：
| 制造商 | n | 组均值 | 制造商 | n | 组均值 |
|---|---|---|---|---|---|
| Mack | 3 | +14.7 | B&M | 20 | −2.8 |
| GCI | 11 | +10.1 | 乐园自建 | 10 | −4.6 |
| RMC | 10 | +2.5 | Gravity Group | 8 | −4.6 |
| Schwarzkopf | 4 | +2.0 | Intamin | 14 | −6.4 |
| PTC | 5 | +0.2 | CCI | 5 | −11.8 |
两端差 22 个名次：GCI（以顺滑耐用著称）对 CCI（以老得快闻名，The Boss 粗暴到 2018 年被砍掉终场螺旋）。 Intamin −6.4 与 4.3 的弹射纪录机现象同源——它家在榜的多是"参数容易高估"的巨型规格机。
5.3 这些结果合起来说明什么
残差不随国家变（榜内）、不随机型和车龄变，却随"谁建造"（p=0.029）和"谁运营"（p=0.037）变。 一个固定在单台车上、跟着建造者和运营方走的变量，最合理的解释是车的做工和保养状态—— 参数表里没有这一列。极端个案吻合：跑输 −19 名的 Colossos，2016 年被 TÜV 判定轨道不可运营、 停运三年花 1200 万欧元换轨——2018 年投票时它根本坐不了。 要把这一列真正补上：制造商字段扩到全库、给运营方分类，是马上可做的两列； 玩家社区的众包乘坐质量标签是第三列。
6 结论
三条。(i) 预处理的每个选择都在改答案：落差和高度是同一件事，只能算一次； 归一化换一种，Top 10 十换九（2.5）。这些选择必须写在明面上。 (ii) 榜单可以当标签用：学出来的大众口味是"快而长"，模型通过了三种检验 （换折、剔除推补样本重训、次年榜单对照），对 Steel Dragon 2000 的预测一年后应验。 但系数只在榜单覆盖的范围内成立——把车造得更快，名次不会按比例上涨 （在榜最快的 Top Thrill Dragster 只排第 16）。 (iii) 参数表算不出口碑的全部：预测偏差跟着"谁建造、谁运营"走， 缺的是一列"做工和保养状态"；要补上它，得引入制造商等新字段。
优点。全流程可复现（六个脚本，数字与正文一一对应）；缺失值处理有论证、有标注、有专门的划分实验； 结论带不确定度（bootstrap 区间、置换检验 p 值）；用次年榜单做了真正的时间外验证。
弱点。标签只覆盖头部车辆且偏北美，对全库的预测是外推；时长推补很弱（R²=0.29）； 制造商只标注了 96 台在榜车；隐藏变量被定位但未被直接测量。
参考资料。COMAP，HiMCM 2018 Problem A 及评委 commentary（Consortium 116）； RCDB（rcdb.com，数据快照）；Golden Ticket Awards 2018 钢质/木质 top-50 与 2019 钢质榜（goldenticketawards.com）； Captain Coaster（全球排名及个别车辆页面）；Wikipedia：The Boss、Colossos – Kampf der Giganten、 Do-Dodonpa、Kingda Ka（停运与拆除报道）。
数据与代码。rcdb_strict.csv（原始数据）、 class05-gta2018-labels.csv（标签：GTA 2018 两张榜单及匹配结果）、 class05-collinearity-demo.py（4.1 实验）、 class05-bt-rank.py（建模与名单）、 class05-bt-split.py（4.2 划分实验）、 class05-bt-decomp.py（5.1 分层检验）、 class05-bt-mfr.py（5.2 制造商表）。 配套课件：课堂练习、 交互题解（含归一化对比、权重滑杆排名器、bootstrap 演示等课堂内容）。