题解：谁是第一名？

问题出在哪

练习页的成绩单里，三科的分数其实不在同一把尺子上： 数学最高 95、最低 40，拉开了 55 分；英语全班挤在 85 到 95 之间，只有 10 分的空间。 把原始分直接相加，等于让分差最大的科目说了算——数学好的学生占尽便宜，英语好的学生再强也只能贡献几分的优势。

要把三科放到同一把尺子上，就需要归一化。min-max 和 z-score 是最常用的两种， 区别在于各自拿什么当尺子。

min-max：拿最高分和最低分当尺子

$$x' = \frac{x - \min}{\max - \min}$$

本科目的最高分变成 1，最低分变成 0，其他人按比例落在中间。它回答的问题是： "你在本科目的全距里占到了几成？"结果天然落在 $[0,1]$，像一个"得分率"，很直观。

它的软肋：

• 整个尺度只由两个极端学生决定。J 数学考 40 还是考 20，会改变其他所有人的数学归一分——尽管其他人什么都没变。离群值越极端，中间所有人被压得越扁。
• 新增样本会重排旧分数。转校生一来，如果刷新了最高分或最低分，全班都要重算。

z-score：拿平均分和标准差当尺子

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

$\mu$ 是本科目的平均分，$\sigma$ 是标准差（分数的典型波动幅度）。z 分的含义是： "你高出平均水平几个标准差？"数学 +2 和英语 +2 可以直接比——都表示"比平均高出两倍典型波动"， 不管两科原始分差了多少。

它的特点：

• 对离群值稳健得多。$\mu$ 和 $\sigma$ 由全体学生共同决定，单个极端值的影响被摊薄，不像 min-max 被一个人绑架。
• 无界且有负数。低于平均就是负分——"负分"直观表达了"拖后腿"；但如果后续计算不允许负数（比如取对数、算比值），需要再做平移。

数轴上看两种变换

把每科的 10 个分数画在同一条数轴上：横线是全距（min 到 max），盒子是 $\mu \pm \sigma$ 的范围，竖线是平均分。 两种归一化都是"平移 + 缩放"，点按钮看同一批点被移到哪里去。A 和 C 有标注，鼠标放到任何点上可以看具体数值。

手算一遍

平均分和标准差的定义（标准差用除以 $n$ 的总体标准差，$n=10$）：

$$\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad\qquad \sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \mu\right)^2}$$

先把每科的四个统计量算出来：

以数学为例，标准差的计算过程：

$$\sigma_{数} = \sqrt{\tfrac{1}{10}\left[(95-62)^2 + (78-62)^2 + \cdots + (40-62)^2\right]} = \sqrt{239.6} \approx 15.48$$

每个学生三科的归一分加起来，就得到 min-max 总和与 z 分总和。全部 10 人 × 3 科的结果在下面的表里。

完整对照表

点任何一列表头就按这一列排序。分别按原始总分、min-max 和、z 分和各排一次， 看看每次的前三名是谁。三个"总/和"列里同时标了该列的名次。

min-max 和 z 分保留两位小数，求和用未舍入的精确值再舍入显示。